As Cônicas

Elipse

O que é Elipse?

Definição:Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.

Elementos da Elipse:

Na ilustração da elipse acima temos:

F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c).
O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a.
O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b.
O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2.
A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.

Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:
a² = b² + c²

Equação reduzida da Elipse.

De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as seguintes equações reduzidas:

 

 

Exemplo 1

Vamos determinar as equações das seguintes elipses:

a)

a² = b² + c²
a² = 6² + 8²
a² = 36 + 64
a² = 100
a = 10

Equação:

b)

a² = b² + c²
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
a = 13

 Equação:





Exemplo 2

Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.

Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma:

a² = 16 → a = 4
b² = 4 → a = 2

a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14

Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0).

A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.

    Colégio Estadual Sofia Mascarenhas
   Grupo:Aline,Claudiana,Reniele,Taynan,Tayane, wicellianney 
   Pró: Marivaldo                  Série: 3° "A"   
   Turno: Matutino              Sala: 04

 Ponto, Reta e Plano


A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que sabe-se muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial.
Representação, (notação)
→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,…
→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,…
→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex:
Representação gráfica

Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.
1º Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
2º Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).

3º Pontos colineares pertencem à mesma reta.

4º Três pontos determinam um único plano.

5º Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.

6º Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.

Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s.